《线性代数A》教学大纲
一、课程说明
课程编码：1803614901
课程名称（中/英文）：线性代数A / Linear Algebra A
课程类别：专业必修课
学时/学分：48学时/3学分
先修课程：无
适用专业 层次：制药工程 本科
二、课程的地位及作用
线性代数课程是一门重要的基础理论课，由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，尤其在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已经成为科技人员常遇到的课题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用各个学科，这就要求学生具备本课程有关的基本知识，并熟练地掌握它的方法。
线性代数是以讨论有限维空间线性理论为主的课程，具有较强的抽象性与逻辑性。通过本课程的学习，使学生获得应用科学中常用的矩阵方法、线性方程组等理论及其有关基本知识，并具有熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力，从而为学习后继课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
三、课程教学目标
（一）知识目标
系统地掌握行列式、矩阵、n 维向量与线性方程组、线性空间、特征值与特征向量、相似矩阵与二次型的基本知识、基本理论与基本方法，培养解决实际问题的能力，并为学习相关课程，进一步扩大数学知识面，奠定必要的数学基础。
（二）能力目标
通过本课程的学习，学生应获得：①较熟练的代数运算能力和逻辑推理能力；②应用较抽象的代数方法，分析问题和解决问题的能力，满足本专业对线性代数知识的需求；③较强的自主学习能力和创新能力。
（三）素质目标
通过本课程的学习，学生应具备：①主动探寻并善于抓住现实世界中数学问题的背景和本质的素养；②善于对现实世界中的现象和过程合理的简化和量化，进行严谨的逻辑推理，空间想象，建立数学模型的素养；③能用线性代数的理论与方法准确、简明、规范的数学语言表达自己数学思想的素；④具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素养。
| 教学内容 |
学时数 |
| 第一章 行列式 |
9 |
| 第二章 矩阵 |
9 |
| 第三章 n维向量与向量空间 |
9 |
| 第四章 线性方程组 |
7 |
| 第五章 矩阵的特征值与二次型 |
14 |
五、课程章节目的要求、教学内容、重点难点及教学设计
第一章 n阶行列式
【总学时】9学时
【学时分配】讲课（含研讨）9 学时
【目的要求】
知识目标：记忆行列式的基本概念及性质、克拉默(Cramer)法则。
能力目标：能求解全排列的逆序数；能利用行列式的性质及行列式的展开计算行列式。
素质目标：通过行列式的概念及性质的讲解，引导学生发现解决问题时从特殊到一般的规律。
【教学内容】
第一节 全排列及行列式的定义
1.二阶、三阶行列式及求解。
2.全排列的概念、排列的逆序数。对换及对换的性质。
3.n阶行列式概念。
第二节 行列式的性质
1.转置行列式的概念。
2.行列式的6条性质。
3.利用行列式的性质计算行列式。
第三节 行列式按行（列）展开
1.行列式余子式、代数余子式的概念。
2.行列式的按行（列）展开定理及推论。
3.利用行列式的展开式计算行列式。
【教学重点】n阶行列式的概念、性质及展开定理，关于Cramer法则应用条件；
【教学难点】运用行列式的基本性质及展开式计算（证明）各种、各阶行列式。
【教学方案设计】
复习用消元法求解二元一次方程组，导入课程，引出行列式的概念，进而介绍行列式性质及计算。
教学方法：讲授法、讨论法。
教学手段：多媒体教学、板书。
第二章 矩阵
【总学时】9学时
【学时分配】讲课（含研讨）9学时
【目的要求】
知识目标：记忆矩阵的概念及一些特殊的矩阵、矩阵的逆、初等矩阵与初等变换；理解矩阵如何分块及运算。
能力目标：能掌握矩阵的五种运算，能利用初等变换求矩阵的逆及矩阵的秩。
素质目标：通过矩阵内容的讲解，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和自学能力。
【教学内容】
第一节 矩阵及矩阵的运算
1.矩阵的概念及一些特殊的矩阵。
2.矩阵的五种运算。
第二节 矩阵的逆
1.逆矩阵及伴随矩阵的概念。
2.矩阵可逆的判别。
第三节 矩阵的初等变换与初等矩阵
1.初等变换的概念及分类。
2.初等矩阵的概念及性质。
第四节 用初等变换求矩阵的逆、矩阵的秩
1.矩阵可逆的等价条件。
2.用初等变换求解逆矩阵。
3.矩阵秩的概念。
4.用初等变换求矩阵的秩。
【教学重点】矩阵的各种运算，特别是矩阵的乘积（包含幂）；逆矩阵的的求解、矩阵秩的求解。
【教学难点】矩阵可逆的判断及矩阵的乘积运算。
【教学方案设计】
以两个实例引出矩阵的概念，进而介绍矩阵的运算、矩阵的逆、矩阵的秩等内容。
教学方法：讲授法、讨论法。
教学手段：多媒体教学、板书。
第三章 n维向量与向量空间
【总学时】9学时
【学时分配】讲课（含研讨）9学时
【目的要求】
知识目标：了解n维向量的概念、向量组线性相关与线性无关的定义, 并了解有关的重要结论；理解向量组的极大线性无关组与向量组的秩的概念；
能力目标：能利用向量组线性相关或无关的性质去判断向量组的相关性；能利用初等变换的方法求解向量组的极大线性无关组。
素质目标：通过向量组的线性相关性的讲解使学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能力。
【教学内容】
第一节 n维向量及向量组的线性相关性
1.n维向量的概念及一些特殊的向量。
2.向量的运算性质。
3.向量组的线性相关的概念。
4.向量组线性相关或无关的七条性质定理。
第二节 向量组间的关系与极大线性无关组
1.线性表出的概念及向量组的等价。
2.极大线性无关组的概念及性质。
第三节 向量组的秩及其与矩阵的秩的关系
1.向量组的秩的概念。
2.向量组的秩与矩阵的秩的关系。
3.向量组的秩及极大线性无关组的求解。
【教学重点】向量组的线性相关性的判断、向量组的秩及极大线性无关组的求解。
【教学难点】向量组的线性相关性、极大线性无关组的求解；
【教学方案设计】
以列矩阵和行矩阵这两种特殊的矩阵导入新课。通过与矩阵进行比较，进而介绍向量的运算、向量组的相关性等。
教学方法：讲授法、讨论法。
教学手段：多媒体教学、板书。
第四章 线性方程组
【总学时】7学时
【学时分配】讲课（含研讨）7学时
【目的要求】
知识目标：记忆方程组求解的消元法、齐次线性方程组与非齐次线性方程组有解的判别条件。
能力目标：能判别方程组解的情况并在有解时求解方程组的通解。
素质目标：通过方程组的求解使学生掌握综合运用所学知识去分析和解决问题的能力，特别是解决本专业中问题的能力。
【教学内容】
第一节 线性方程组的消元法
1.线性方程组的消元法。
2.求解举例。
第二节 解的判别定理及解的结构
1.齐次线性方程组解的性质。
2.齐次线性方程组解的通解。
3.非齐次线性方程组解的性质。
4.非齐次线性方程组解的求解。
【教学重点】初等矩阵及其与线性方程组求解的关系、线性方程组有解判定定理。
【教学难点】深入理解初等矩阵及其与线性方程组求解的关系。
【教学方案设计】
以利用消元法求解线性方程组为例导入新课。进而介绍方程组有解的判别条件及如何求方程组通解。
教学方法：讲授法、讨论法。
教学手段：多媒体教学、板书。
第五章 矩阵的特征值与二次型
【总学时】14学时
【学时分配】讲课（含研讨）14学时
【目的要求】
知识目标：理解向量内积的概念、正交向量组的定义与性质；了解相似矩阵的概念及相关定理；了解二次型及二次型的标准形。
能力目标：能把向量组利用施密特（Schmidt）正交化方法转化为正交向量组；能求矩阵的特征值及特征向量；能把实对称矩阵对角化；能化二次型为标准形。
素质目标：通过特征值和特征向量的讲解使学生掌握其在工程问题里的应用，特别是计算机数据的存储和处理方面的应用。
【教学内容】
第一节 向量的内积与正交向量组
1.向量的内积及向量的夹角。
2.正交向量组的概念及性质。
3.施密特（Schmidt）正交化。
第二节 方阵的特征值与特征向量
1.方阵的特征值与特征向量的概念。
2.方阵的特征值与特征向量的求解。
第三节 相似矩阵与矩阵的对角化
1.相似矩阵的概念。
2.矩阵相似的性质。
3.矩阵的对角化。
4.对称矩阵的对角化。
第四节 二次型及化二次型为标准形、正定二次型
1.二次型的概念及二次型的标准形的概念。
2.化二次型为标准形。
3.正定二次型。
【教学重点】正交向量组的概念与性质；施密特（Schmidt）正交化；矩阵的特征值与特征向量；相似矩阵的概念及性质；二次型及二次型的标准形；正定二次型。
【教学难点】实对称矩阵的对角化；用正交变换及配方法化二次型为标准形。
【教学方案设计】
以应用实例导入新课。进而介绍向量组的正交、矩阵的特征值与特征向量、矩阵的对角化、二次型及二次型的标准形、正定二次型。
教学方法：讲授法、讨论法。
教学手段：多媒体教学、板书。
六、课程考核及成绩评定
课程考核形式：期末考试与过程考核相结合，过程考核包括平时作业、平时出勤等形式。
成绩评定：期末考试占70%，平时成绩（作业及平时出勤）占30%。
七、建议教材及教学参考书
（一）教材：戴斌祥主编.《线性代数》(第3版)[M].北京邮电大学出版社,2018年5月.
（二）教学参考书：
1.同济大学.《线性代数》(第6版) [M]. 高等教育出版社,2014年7月.
2.北京大学.《高等代数》(第4版) [M]. 高等教育出版社,2014年8月．
3.吴赣昌.《线性代数》(第5版) [M]. 中国人民大学出版社,2017年6月.
4.丘维声.《高等代数》[M]. 清华大学出版社，2010年10月．
5.李振东主编.《线性代数》(第2版) [M].科学出版社,2016年1月.
教学大纲审定者：刘守鹏 授课教研室：数学教研室
课程负责人：刘守鹏 所属学院：公共卫生与管理学院
专业负责人： 学院院长：曹高芳
