《高等代数》教学大纲

《高等代数》教学大纲

 

一、课程说明

课程编码：1803604001

课程名称（中/英文）：高等代数/Advanced Algebra

课程类别：学科平台课

学时/学分：90学时/5.5学分

先修课程：无

适用专业层次：统计学 本科

二、课程的地位及作用

高等代数是统计学专业的专业基础课程。它作为数学课程体系中的一门课程，在培养个体逻辑思维严谨性、问题解决方法科学性等方面起到了主要作用；作为统计学专业课程体系的重要组成部分，它与高等数学、概率论与数理统计等数学课程为统计专业后续课程顺利学习奠定的理论基础和方法基础。特别是随着当今电脑科技的发展，更加显示出高等代数作用。

三、课程教学目标

传统数据多是单一的，随着问题研究复杂性增大，研究对象的属性指标越来越多，再用单一数据之间的简单关系解决多属性值问题显得非常麻烦且工作量大。若果把具有某种联系的对象或对象的多个属性值按某种位置或次序关系整合在一起作为整体视为一个运算量，就会使得繁杂的问题简单化，而且这种运算量在一定程度上保持原来单一数据量的大部分运算性质。高等代数主要就是研究复杂问题的这种运算量及其之间关系，即其结构性问题的。其中表示有序数组的矩阵这样一种运算量，矩阵也是高等代数的基本概念之一。

（一）知识目标

理解矩阵及其相关概念，掌握矩阵理论。需要理解的基本知识包括矩阵的运算、线性方程组及其求解、向量的线性相关性、行列式运算、特征值与特征向量、线性空间、线性空间与线性变换、二次型等。

　（二）能力目标

通过学习该课程，学生在知识系统性、问题解决能力水平、逻辑思维素质等方面达到统计学专业课程的基本要求。能够用矩阵表示专业相关问题或实际问题，把这种问题转化为矩阵运算问题，再通过矩阵及其相关理论和方法解决问题。能够对矩阵运算或专业课应用软件得到的结果进行解释。

（三）素质目标

培养辩证的人生观和价值观、从数学角度看问题的意识、团队合作精神；提高分析问题综合问题的能力、对具体问题的抽象能力；养成严谨求是的科学态度，树立自主学习、终身学习的观念。

四、学时分配表

五、课程章节目的要求、教学内容、重点难点及教学设计

第一章  矩阵

【总学时】12学时

【学时分配】讲课（含研讨）12学时

【目的要求】

知识目标：理解数域的概念、矩阵的概念，掌握矩阵的转置、加、减、数乘、乘法、逆运算，方阵的幂运算。

能力目标：能够熟练掌握矩阵概念及其基本运算、矩阵的分块及其运算。

素质目标：有意识地利用矩阵表示问题、利用矩阵运算表达问题。

【教学内容】

第一节 矩阵的概念

1.数域的定义、矩阵的定义及其相关概念。

2.常见的几种特殊矩阵。

第二节 矩阵的运算

1.矩阵的转置。

2.矩阵的加、减、数乘、乘法、逆运算。

3.分块矩阵及其运算。

【教学重点】矩阵运算规则、逆矩阵求解方法。

【教学难点】矩阵的乘法运算、逆矩阵求解方法。

【教学方案设计】首先复习义务教育阶段学习的四则运算，然后引入矩阵的加、减、数乘、乘法、逆运算，进行类比教学。根据教育学心理学中规律或方法利用同化顺应原理落实教学内容。

教学方法：讲授法、讨论法。

教学手段：多媒体教学、板书。

第二章  线性方程组与矩阵初等变换

【总学时】9学时

【学时分配】讲课（含研讨）9学时

【目的要求】

知识目标：理解线性方程组的概念、矩阵初等变换的概念、初等矩阵的概念，掌握三种初等矩阵及其对应的初等变换。

能力目标：能够熟练利用初等变换解线性方程组、求矩阵的逆。

素质目标：领会矩阵乘法与矩阵初等变换的关系。

【教学内容】

第一节 线性方程组及其高斯消元法

1.线性方程组及其高斯消元法求解详细过程。

2.矩阵的初等变换。

第二节 初等矩阵

1.初等矩阵的概念。

2.初等矩阵与初等变换之间的关系。

3.用初等变换求矩阵的逆。

【教学重点】初等变换与线性方程组求解的关系。

【教学难点】初等矩阵与初等变换的联系。

【教学方案设计】利用初中加减消元法写出线性方程组详细求解过程、写出每一步结果方程组对应的矩阵，引入相邻两个矩阵之间的关系；类似引入可逆矩阵表示成初等矩阵乘积内容。

教学方法：讲授法、讨论法。

教学手段：多媒体教学、板书。

第三章  行列式

【总学时】9学时

【学时分配】讲课（含研讨）9学时

【目的要求】

知识目标：理解行列式的定义及其相关概念，了解行列式的作用；理解伴随矩阵的定义，掌握求伴随矩阵的方法。

能力目标：灵活用定义、性质、降阶等方法求行列式的值，用克莱姆（Gramer）法则解线性方程组。

素质目标：培养把有规律表达式简单化、单位化的意识和能力。一般地说就是，培养学生从繁杂的现象中寻找规律的能力。

【教学内容】

第一节 行列式的定义

1.二阶行列式、三阶行列式，n阶行列式的定义，行列式所表达结果的结构。

2.全排列及其奇偶性、逆序数及其计算。

3.行列式按行（或列）降阶展开。

第二节 行列式的性质

1.行列式的性质。

2.行列式的计算。

3.矩阵的秩。

第三节 伴随矩阵与克莱姆法则

1.伴随矩阵。

2.行列式的乘法。

3.克莱姆法则。

【教学重点】n阶行列式的定义和行列式求值计算技巧。

【教学难点】行列式求值，行列式乘法规则。

【教学方案设计】利用归纳法总结行列式的表达结果，培养学生分析问题综合问题的能力。

教学方法：讲授法、讨论法。

教学手段：多媒体教学、板书。

第四章  向量组的线性相关性

【总学时】9学时

【学时分配】讲课（含研讨）9学时

【目的要求】

知识目标：理解n维向量的概念、向量组线性相关性、极大线性无关组、向量组的秩的概念、基础解系、通解等概念。

能力目标：掌握线性方程组解的结构，培养利用有限表达解释无限的能力。

素质目标：培养线性思维和把问题线性化的意识与能力。

【教学内容】

第一节 向量组的线性相关性

1.二维空间、三维空间、n维空间，向量空间及其子空间。

2.向量组的线性组合、线性表出、线性相关性，极大线性无关组，向量组的秩，线性空间的基、维数、向量的坐标。

第二节 线性方程组解的结构

1.齐次线性方程组、非齐次线性方程组，方程组的解、通解、特解。

2.齐次线性方程组解的结构、非齐次线性方程组解的结构。

【教学重点】向量组的线性相关性、线性方程组解的结构。

【教学难点】向量组的线性相关性、向量与向量空间。

【教学方案设计】利用一元一次方程、二元一次方程（组）、三元一次方程（组）等概念，以及一元函数的正比例函数、一次函数，二元函数的一次函数等引入线性关系概念；利用多个平面之间的位置关系对应的多元一次方程组解的存在性引入通解、特解概念。最后到处线性理论内容。

教学方法：讲授法、讨论法。

教学手段：多媒体教学、板书。

第五章  多项式

【总学时】6学时

【学时分配】讲课（含研讨）6学时

【目的要求】

知识目标：理解多项式的概念、多项式整除的概念、因式分解及其相关定理，公因式、重因式、最大公因式，了解多项式函数与余数定理、被除式、除式、余式、多元多项式。掌握带余除法运算方式，了解复系数与实系数的因式分解以及有理系数多项式的有关结论。

能力目标：能够灵活进行一元多项式的除法运算（带余除法运算方式）、利用因式分解定理进行因式分解。

素质目标：把数的除法运算推广到多项式的除法；能够对比数的竖式除法与多项式带余除法找出异同，提高学生演绎推理与归纳推理的能力、综合问题分析问题的能力，

【教学内容】

第一节 一元多项式及其整除的概念

1.一元多项式及其运算、一元多项式的次数。

2.一元多项式的整除，最大公因式。

第二节 因式分解定理与多项式的因式分解

1.重因式、因式分解定理，多项式函数及余数定理。

2.复数域和实数域上多项式的因式分解

3.有理数域上多项式的因式分解。

第三节 多元多项式

1.多元多项式。

2.对称多项式

【教学重点】多项式除法、因式分解及唯一性定理。

【教学难点】有理系数多项式因式分解。

【教学方案设计】基于数的竖式除法引入一元多项式的带余除法，给出被除式、除式、余式的概念，从而引入整除的概念。

教学方法：讲授法、讨论法。

教学手段：多媒体教学、板书。

第六章  线性空间

【总学时】9学时

【学时分配】讲课（含研讨）9学时

【目的要求】

知识目标：理解线性空间的概念、掌握线性空间的简单性质，进一步理解空间中维数、基、坐标的概念及其之间的关系；理解子空间的概念，了解空间的交、和、直和运算；理解集合的映射、线性空间的同构概念。

能力目标：正确判断一个集合是成为空间的条件，灵活求解线性空间的维数、基、向量在基下的坐标。

素质目标：拓宽学生的数学视野，认识集合与空间、映射与函数、映射与变换、函数与变换之间的关系，促使学生形成对数学更高层面的认识。

【教学内容】

第一节 线性空间及其维数、基于坐标

1.线性空间的定义。

2.线性空间的简单性质

第二节 集合的映射

1.集合、映射、恒等映射、单射、满射、双射、逆映射。

2.映射的乘法、映射的逆。

第三节 线性空间的同构

1.映射的加、数乘运算。

2.同构映射，线性空间的同构定理。

【教学重点】线性空间的维数和基、线性空间的同构。

【教学难点】线性空间的同构与直和。

【教学方案设计】以向量空间为几何模型帮助学生理解有关概念，让学生搞清线性空间的基本结构，使学生能够进行一些基本运算。以本章节理论讲解为主。

教学方法：讲授法、讨论法。

教学手段：多媒体教学、板书。

第七章  线性变换

【总学时】9学时

【学时分配】讲课（含研讨）9学时

【目的要求】

知识目标：理解线性变换的概念、了解线性变换的运算、线性变换与矩阵的对应关系、特征值与特征向量。理解相似矩阵的定义、了解若当矩阵与若当标准型、最小多项式。

能力目标：掌握线性变换与矩阵的对应关系、会求特征值与特征向量；灵活进行矩阵相似对角化。

素质目标：通过对角化理论，培养学生把复杂问题转换为简单问题的能力和意识，并理解转换的意义。

【教学内容】

第一节 线性变换及其特征值与特征向量

1.线性变换的定义、运算、矩阵。

2.线性变换的特征值与特征向量的定义、求解方法，特征多项式及其性质。

3.线性变换的值域、核，不变子空间。

第二节 相似矩阵

1.相似矩阵及其性质。

2.矩阵的相似对角化，若当标准型简介。

3.最小多项式。

【教学重点】线性变换在不同基下矩阵的关系，矩阵的对角化及不变子空间。

【教学难点】线性变换与基的关系，线性变换的值域与核，线性空间按特征值分解。

【教学方案设计】“具体——抽象——具体”解决问题思路。

教学方法：讲授法、讨论法。

教学手段：多媒体教学、板书。

第八章  λ-矩阵

【总学时】12学时

【学时分配】讲课（含研讨）12学时

【目的要求】

知识目标：理解λ-矩阵的概念，不变因子、行列式因子、初等因子的概念及其之间的关系，λ-矩阵的标准型，相似标准化的条件，若当标准型及其计算。

能力目标：掌握不变因子、行列式因子、初等因子之间的换算关系、灵活判断矩阵的相似关系。

素质目标：培养学生分析问题综合问题的能力、复杂问题划归思想。

【教学内容】

第一节λ-矩阵及其标准形

1.λ-矩阵及其初等因子与行列式因子。

2.λ-矩阵的标准型，λ-矩阵的不变因子。

第二节矩阵相似的条件

1.矩阵相似的条件。

2.初等因子。

3.若当标准形。

【教学重点】矩阵相似的判断。

【教学难点】特征矩阵的等价与数字矩阵相似的关系。

【教学方案设计】培养学生的划归思想。本章采取理论讲解与问题讨论式相结合的方法。

教学方法：讲授法、讨论法。

教学手段：多媒体教学、板书。

第九章  向量的正交性

【总学时】9学时

【学时分配】讲课（含研讨）9学时

【目的要求】

知识目标：通过向量的内积运算进一步认识向量、向量的内积及其性质、向量的正交性、施密特正交化，判断正交矩阵，理解正交变换、对称变换的概念；实对称矩阵的特征值与特征向量、实对称矩阵对角化。

能力目标：灵活进行向量组的正交化、判断正交矩阵、求实对称矩阵的特征值和特征向量，熟练写出矩阵对角化关系式。

素质目标：培养学生分析问题综合问题的能力、复杂问题划归思想。

【教学内容】

第一节向量的正交化

1.三维空间中向量的内积，内积的运算与性质，。

2.向量的正交性、施密特正交化。

3.正交矩阵、正交变换。

第二节实对称矩阵的对角化

1.子空间的正交关系、对称变换。

2.实对称矩阵的特征值与特征向量。

3.实对称矩阵的对角化。

【教学重点】实对称矩阵的对角化。

【教学难点】灵活地进行对角化运算。

【教学方案设计】培养学生的划归思想、分析问题解决问题的能力。

教学方法：讲授法、讨论法。

教学手段：多媒体教学、板书。

第十章  二次型

【总学时】6学时

【学时分配】讲课（含研讨）6学时

【目的要求】

知识目标：理解二次型的概念、用矩阵表示二次型，对二次型进行标准化、规范化，求二次型的标准型；了解正定二次型的概念。

能力目标：掌握用非退化线性变换，掌握化二次型为标准形及判断二次型的正定性的方法；灵活把二次型转换为标准形或规范形。

素质目标：培养学生分析问题综合问题的能力、复杂问题划归思想。

【教学内容】

第一节二次型及其标准形

1.二次型的概念、二次型的矩阵表示。

2.二次型的标准形。

3.正交变换法、合同变换法、配方法。

第二节正定二次型

1.正定二次型的概念。

2.正定二次型的判断。

【教学重点】正交变换、合同变换。

【教学难点】配方变换，二次型标准化运算过程。

【教学方案设计】培养学生复杂问题的划归思想、化繁为简的意识和能力。

教学方法：讲授法、讨论法。

教学手段：多媒体教学、板书。

六、课程考核及成绩评定

高等代数是考试课程，理论考试形式是闭卷，理论成绩约占70%、平时作业或实验考试成绩约占30%。

七、建议教材及教学参考书

1.教材：普通高等教育“十一五”国家规划教材。

张志让，刘启宽．高等代数．高等教育出版社，2008年．

2.教学参考书：

卢刚．线性代数．高等教育出版社，2000年。

北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小组，高等代数，人民教育出版社，1978年．

RorresC,AntonH.Applications of linear algebra.3rd ed. John Wiley & Sons. Inc,1984.

同济大学应用数学系．线性代数．高等教育出版社，1981年．

 

教学大纲编审者：祁爱琴           授课教研室：数学教研室

课程负责人：高明海               所属学院：公共卫生与管理学院

专业负责人：王玖                 学院院长：曹高芳

 

二〇一八年七月十一日